Question

在边长为3的正△ABC中，E，F分别在AB，AC边上且AE=CF=1，（如图1）现将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使面A₁EF⊥面BEF（如图2）

（1）求证：A₁E⊥CF
（2）若点P在BC边上，且CP=1，连结A₁B，A₁P，求直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件得EF⊥AD，A₁E⊥EF，A₁E⊥平面BEF．由此能证明A₁E⊥CF．
（2）由（1）知A₁E⊥平面BEF，BE⊥EF，建立坐标系，利用向量法能直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小．

解答： （本题满分12分）
（1）证明：在图1中，由AF=AD=2，而∠A=60°，
得△△ADF是正三角形．（2分）
又∵AE=ED=1，∴EF⊥AD，
∴在图2中有A₁E⊥EF，（4分）
∵面A₁EF⊥面BEF，交线为EF，
∴A₁E⊥平面BEF．
又CF?面BEF，∴A₁E⊥CF．（6分）
（2）解：由（1）知A₁E⊥平面BEF，BE⊥EF，
如图建立坐标系，（8分）
则E（0，0，0），A₁（0，0，1），B（2，0，0），F（0，

3

，0）．
由题意得点P（1，

3

，0），
∴

A1B

=(2，0，-1)，

BP

=(-1，

3

，0)，

EA1

=(0，0，1)，
设平面A₁BP的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • A1B =2x-z=0 n • BP =x- 3 y=0

，（10分）
令y=

3

，得

n

=(3，

3

，6)，
∴sinθ=|cos＜

n

，

EA1

＞|=

3

2

，
故直线A₁E与平面A₁BP所成角的大小为

π

3

．（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．