Question

某种汽车购车时费用为10万元，每年保险、汽油等费用为0.9万元；汽车的维修费用各年为：第一年0.2万元，以后每年以0.2万元的增量逐年递增．
（1）写出该种汽车使用n年后总费用S_n的表达式
（2）问这种汽车使用多少年报废最合算（平均费用最少）？

Answer 1

考点：数列的应用

专题：应用题,等差数列与等比数列

分析：（1）确定汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，可得该种汽车使用n年后总费用S_n的表达式；
（2）求汽车的年平均费用，再利用基本不等式，即可求得结论．

解答： 解：（1）由题意汽车每年的维修费用形成以0.2为首项0.2为公差的等差数列--（2分）
∴使用n年后总费用Sn=0.2n+

n(n-1)

2

×0.2=0.1n2+0.1n
即该种汽车使用n年后总费用S_n的表达式为Sn=0.1n2+0.1n，(n∈N*)-----------（5分）
（2）设该种汽车使用n年后总费用为y，依题意；y=

10+0.9n+0.1n2+0.1n

n

=

10

n

+

n

10

+1≥2+1=3（万元）---------------------（10分）
当且仅当

10

n

=

n

10

即n=10时，等号成立，故这种汽车使用10年报废最合算．-----（12分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，属于中档题．