Question

已知函数f（x）=sinx，g（x）=mx-

x3

6

（m∈R）；
（1）求曲线y=f（x）在点P（

π

4

，f（

π

4

））处的切线方程；
（2）求函数g（x）的单调递减区间；
（3）若m=1，证明：当x＞0时，f（x）＜g（x）+

x3

6

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线y=f（x）在点P（

π

4

，f（

π

4

））处的切线方程；
（2）根据函数单调和单调性之间的关系即可求函数g（x）的单调递减区间；
（3）若m=1，构造函数h（x）=g（x）+

x3

6

-f（x），利用导数研究函数的单调性即可证明不等式．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinx，
∴f′（x）=cosx，
函数在点P（

π

4

，f（

π

4

））处的切线斜率k=f′（

π

4

）=cos

π

4

=

2

2

，
∵f（

π

4

）=sin

π

4

=

2

2

，∴切点坐标为（

π

4

，

2

2

），
则切线方程y-

2

2

=

2

2

（x-

π

4

），
即y=

2

2

x+

2

2

（1-

π

4

）．
（2）g′（x）=m-

3

6

x2=m-

1

2

x²=0，得x²=2m，
当m≤0，g′（x）＜0，g（x） 单调递减，
当m＞0，
由g′（x）≤0，即g（x）单调递减，解得x≤-

2m

或x≥

2m

，
即函数的单调递减区间为（-∞，-

2m

）或[

2m

，+∞）．
（3）m=1，g（x）=x-

x3

6

，
h（x）=g（x）+

x3

6

-f（x）=x-sinx，
h′（x）=1-cosx，
当x＞0，cosx≤1，
∴h′（x）=1-cosx≥0，即函数h（x）单调递增，
当x=0时，h（0）=0，
∴x＞0时，h（x）＞0，
即f（x）＜g（x）+

x3

6

成立．

点评：本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系，考查学生的运算能力．