Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为DD₁、DB的中点．
（Ⅰ）求证：CF⊥EF；
（Ⅱ）求三棱柱B₁-CEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由题意，欲证线线垂直，可先证出CF⊥DBB₁D₁，再由线面垂直的性质证明CF⊥EF即可；
（Ⅱ）由题意，可先证明出CF⊥平面BDD₁B₁，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B₁EF的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积．

解答： （Ⅰ）证明：正方体中ABCD-A₁B₁C₁D₁，F为DB的中点，∴CF⊥DB，
∵DD₁⊥平面ABCD，CF?平面ABCD，∴DD₁⊥CF，
∴CF⊥DBB₁D₁，
又EF?平面DBB₁D₁，∴CF⊥EF．…（6分）
（Ⅱ）解：∵CF⊥DBB₁D₁，∴CF⊥B₁EF，
又CF=BF=

2

，EF=

1

2

BD1=

3

，B1F=

BF2+BB12

=

( 2 )2+22

=

6

，B1E=

B1D12+D1E2

=

(2 2 )2+12

=3，
故有EF2+B1F2=B1E2，∴△B₁EF为直角三角形，∴S△B1EF=

1

2

×

3

×

6

=

3 2

2

，
∴VB1-EFC=VC-B1EF=

1

3

S△B1EF×CF=

1

3

×

3 2

2

×

2

=1．…（12分）

点评：本题考查线面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理及锥体的体积的求法，考查了空间感知能力及判断推理的能力，解题的关键是熟练掌握相关的定理及公式．