Question

用数学归纳法证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

（n∈N⁺）．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：直接利用数学归纳法证明问题的步骤，证明不等式即可．

解答： 证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=2，1＜2，所以不等式成立．…（3分）
（2）假设m=k时不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＜2

k

，…（5分）
则当n=k+1时，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＜2

k

+

1

k+1

=

2 k(k+1) +1

k+1

＜

k+k+1+1

k+1

=2

k+1

，…（10分）
即当n=k+1时，不等式也成立．
由（1）、（2）可知，对于任意n∈N⁺时，不等式成立． …（12分）

点评：本题考查数学归纳法证明含自然数n的表达式的证明方法，注意n=k+1的证明时，必须用上假设．