Question

倾斜角为钝角的直线L过点（1，1），点（4，2）到直线L的距离为

5

，
（Ⅰ）求直线L的方程；
（Ⅱ）是否存在实数m使圆x²+y²+x-6y+m=0和直线L交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），若存在，求m的值．若不存在说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）设直线方程为y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0，利用点（4，2）到直线L的距离为

5

，求出k，即可求直线L的方程；
（Ⅱ）设出P，Q的坐标，根据OP⊥OQ可推断出x_px_Q+y_py_Q=0，把P，Q坐标代入求得关系式，把直线方程与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x_p+x_Q和x_p•x_Q，利用直线方程求得y_p•y_Q的表达式，最后联立方程求得m，利用判别式验证成立，答案可得．

解答： 解：（Ⅰ）设直线方程为y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0，
∵点（4，2）到直线L的距离为

5

，
∴

|3k-1|

k2+1

=

5

，
∵k＜0，
∴k=-

1

2

∴直线L的方程为x+2y-3=0；
（Ⅱ）设点P（x_p，y_p），Q（x_Q，y_Q）
当OP⊥OQ时，K_op•K_OQ=-1，∴x_px_Q+y_py_Q=0（1）
直线L代入圆x²+y²+x-6y+m=0，可得方程5x²+10x+（4m-27）=0，
∴有：x_p+x_Q=-2，x_p•x_Q=

4m-27

5

（2）
又P、Q在直线x+2y-3=0上y_p•y_Q=

1

2

（3-x_p）•（3-x_Q）（3）

1

4

=[9-3（x_p+x_Q）+x_p•x_Q]
由（1）（2）（3）得：m=3
且检验△＞O成立
故存在m=3，使OP⊥OQ．

点评：本题主要考查了圆的方程的综合运用．本题的最后对求得的结果进行验证是不可或缺的步骤，保证了结果的正确性．