Question

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于D．E，F分别为弦AB与弦AC上的点，B，E，F，C四点共圆，且BC•AE=DC•AF．
（1）证明：CA是△ABC外接圆的直径；
（2）若DB=BE=EA，求过B，E，F，C四点的圆的半径与△ABC外接圆半径的比值．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）由已知条件得△AFE∽△CBD，从而∠AFE=∠CBD，又B，E，F，C四点共圆，得∠CBD=∠CBE=90°，由此能证明CA是△ABC外接圆的直径．
（Ⅱ）连结CE，由CE为B，E，F，C所共圆的直径，得CD=CE，由切线性质得AC⊥DC，由此能求出过B、E、F、C四点的圆的半径与△ABC外接圆半径的比值．

解答： （1）证明：∵BC•AE=DC•AF，
∴

BC

DC

=

AF

AE

…（1分）
又 DC为圆的切线
∴∠DCB=∠EAF…（2分）
∴△AFE∽△CBD…（3分）
∴∠AFE=∠CBD…（4分）
又B，E，F，C四点共圆
∴∠AFE=∠CBE…（5分）
∴∠CBD=∠CBE=90°
∴CA是△ABC外接圆的直径…（6分）
（Ⅱ）解：连结CE，∵∠CBE=90°
∴CE为B，E，F，C所共圆的直径…（7分）
∵DB=BE，且BC⊥DE
∴CD=CE…（8分）
∵DC为圆的切线，AC为该圆的直径
∴AC⊥DC…（9分）
设DB=BE=EA=a，在Rt△ACD中，
CD²=BD•DA=3a²，AC²=AB•AD=6a²，
∴

CD2

AC2

=

1

2

，即

CD

AC

=

2

2

，
∴

CE

AC

=

2

2

，
∴过B、E、F、C四点的圆的半径与△ABC外接圆半径的比值为

2

2

．

点评：本题考查三角形外接圆直径的证明，考查两圆半径比值的求法，解题时要认真审题，注意四点共圆的性质的灵活运用．