Question

已知函数f（x）=2sin（πx+φ）（φ∈（0，π）的一条对称轴为x=

1

6

．
（Ⅰ）求φ的值，并求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）与x轴在原点右侧的交点横坐标从左到右组成一个数列{a_n}，求数列{

1

anan+1

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：点列、递归数列与数学归纳法,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据三角函数的对称轴，即可求φ的值，进而可求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）求出数列{a_n}的通项公式，利用裂项法即可求数列{

1

anan+1

}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）=2sin（πx+φ）（φ∈（0，π））的一条对称轴为x=

1

6

，
所以sin(

π

6

+φ)=±1(φ∈(0，π)).φ=

π

3

，(φ∈(0，π))．…（4分）
所以f(x)=2sin(πx+

π

3

)，2kπ-

π

2

≤πx+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z．
即2k-

5

6

≤x≤2k+

1

6

，k∈Z．
所以函数f（x）的单调增区间为[2k-

5

6

，2k+

1

6

]，k∈Z．…（6分）
（Ⅱ）sin(πx+

π

3

)=0，
得πx+

π

3

=nπ即x=n-

1

3

(n∈N•)．…（8分）
所以an=n-

1

3

=

3n-1

3

．…（10分）
所以

1

anan+1

=

9

(3n-1)(3n+1)

=3×(

1

3n-1

-

1

3n+2

)，Sn=3×(

1

2

-

1

5

+

1

5

-

1

8

+…+

1

3n-1

-

1

3n+2

)=3(

1

2

-

1

3n+2

)，
Sn=

9n

6n+4

．…（12分）

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，以及数列通项公式以及前n项和Sn的计算，利用裂项法是解决本题的关键．