Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线x²=4

2

y的焦点重合，F₁，F₂分布是椭圆的左、右焦点，离心率e=

3

3

，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当

OM

•

ON

=-1时，求直线l的方程；
（Ⅲ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，是否存在常数λ，使|AB|=λ

|MN|

？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得b=

2

，又e=

c

a

=

3

3

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，代入

x2

3

+

y2

2

=1，得（2m²+3）y²+4my-4=0，由此利用韦达定理、向量数量积和已知条件能求出直线l的方程．
（Ⅲ）设直线l的方程为x=my+1，代入

x2

3

+

y2

2

=1，得（2m²+3）y²+4my-4=0，由此利用弦长公式结合已知条件能求出常数λ．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得b=

2

，又e=

c

a

=

3

3

，
a²=2+c²，解得a²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+1，
代入

x2

3

+

y2

2

=1，得（2m²+3）y²+4my-4=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y1+y2=-

4m

2m2+3

，①
y1y2=-

4

2m2+3

，②
又x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+1）（my₂+1）+y₁y₂
=（m²+1）（y₁y₂）+m（y₁+y₂）+1=-1，③
将①②代入③得m=±

2

2

，
∴x=±

2

2

y+1，
∴直线l的方程为2x-

2

y-2=0，或2x+

2

y-2=0．
（Ⅲ）设直线l的方程为x=my+1，代入

x2

3

+

y2

2

=1，
得（2m²+3）y²+4my-4=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则有：
y1+y2=-

4m

2m2+3

，①，y1y2=-

4

2m2+3

，②
∴|MN|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

1+m2

(y2+y1)2-4y1y2

=

1+m2

(- 4m 2m2+3 )2+4• 4 2m2+3

=

4 3 (1+m2)

2m2+3

，
设AB的直线方程为x=my，代入

x2

3

+

y2

2

=1，
得y2=

6

2m2+3

，设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
|AB|²=（

1+m2

|y3-y4|）²
=（1+m²）4y²=

24(1+m2)

2m2+3

，
∴λ2=

|AB|2

|MN|

=2

3

=

12

，
∴λ=

4	12

．

点评：本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．