Question

在公差不为零的无穷等差数列{a_n}中，a₂、a₈、a₃₈成等比数列
（Ⅰ）求

a3+a5

a4+a6

的值；
（Ⅱ）依次从该数列中取出一系列项构成一个等比数列，记作{a_n}，已知它的第一项为a n1=a₂，第二项为a n2=a₅，求此等比数列的公比q及和s_k=n₁+n₂+…+n_k．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a₂、a₈、a₃₈成等比数列，求出d=2a₁，即可求

a3+a5

a4+a6

的值；
（Ⅱ）利用ank是等差数列的第n_k项，是等比数列的第k项，求得n_k=

1

2

（1+3^k），即可求出s_k=n₁+n₂+…+n_k．

解答： 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，则
∵a₂、a₈、a₃₈成等比数列，
∴（a₁+7d）²=（a₁+d）（a₁+37d）得d=2a₁，
∴

a3+a5

a4+a6

=

7

9

-------------------------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=（2n-1）a₁，公比为3--------（7分）
∵ank是等差数列的第n_k项，∴ank=a₁+（n_k-1）•2a₁，
ank是等比数列的第k项，∴ank=3a₁•3^k-1
∴由a₁+（n_k-1）•2a₁=3a₁•3^k-1得n_k=

1

2

（1+3^k）
∴s_k=n₁+n₂+…+n_k=

3k+1+2k-3

4

-------------------------------------（12分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等比数列的求和，属于中档题．