Question

如图，多面体ABCDEFG中，FA⊥平面ABCD，FA∥BG∥DE，BG=

1

4

AF，DE=

3

4

AF，四边形ABCD是正方形，AF=AB．
（1）求证：GC∥平面ADEF；
（2）求二面角C-GE-D余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件得平面BGC∥平面ADEF，由此能证明GC∥平面ADEF．
（2）以A为原点，以射线AB、AD、AF分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-GE-D余弦值．

解答： （本小题满分12分）
（1）证明：∵FA∥BG，BC∥AD，BG∩BC=B，AF∩AD=A，
∴平面BGC∥平面ADEF
又GC?平面BGC，
∴GC∥平面ADEF．…（5分）
（2）解：以A为原点，以射线AB、AD、AF分别为x轴、y轴、
z轴建立如图所示的坐标系，
不妨令AB=AF=4，则BG=1，DE=3，
∴G（4，0，1），C（4，4，0），E（0，4，3），

CG

=(0，-4，1)，

CE

=(-4，0，3)，
令

n

=(x，y，z)，

n

⊥平面CGE，
则

n • CG =0 n • CE =0

⇒

(x，y，z)•(0，-4，1)=0 (x，y，z)•(-4，0，3)=0

⇒

-4y+z=0 -4x+3z=0

⇒

z=4y x=3y

不妨令y=1，则

n

=(3，1，4)，
又AC⊥平面BDEG，则平面BDEG的一个法向量为

AC

=(4，4，0)
设二面角C-GE-D的大小为θ，由图得θ为锐角，
∴cosθ=

| n • AC |

| n |•| AC |

=

2

13

=

2 13

13

．
∴二面角C-GE-D余弦值为

2 13

13

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．