Question

已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足

PA

+x

PB

+y

PC

=0．设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S₁，S₂，S₃，记

S3

S

=λ 3，

S 1

S

=λ 1，

S 2

S

=λ 2．则λ₂•λ₃取最大值时，2x+y的值为

3

2

．

Answer 1

分析：由题意可得，S1 =

1

2

S=S₂+S₃利用基本不等式λ2 •   λ3=

S2•S3

S2

≤

(S2+S3)2 4

S2

=

1

16

可知当λ₂•λ₃取最大值时点P在EF的中点，由向量的加法的四边形法则可得，

PA

+

PB

=2

PE

，

PA

+

PC

=2

PF

，从而可得2

PA

+

PB

+

PC

=

0

   结合

PA

+x

PB

+y

PC

=0可求x，y

解答：解：由题意可得，S1 =

1

2

S=S₂+S₃
λ2 •   λ3=

S2•S3

S2

≤

(S2+S3)2 4

S2

=

1

16

当且仅当S₂=S₃时取等号，此时点P在EF的中点
∴

PE

+

PF

=

0

由向量的加法的四边形法则可得，

PA

+

PB

=2

PE

，

PA

+

PC

=2

PF

∴2

PA

+

PB

+

PC

=

0

∵

PA

+x

PB

+y

PC

=0
∴x=y=

1

2

，2x+y=

3

2

点评：本题综合考查了利用基本不等式求解最值，向量加法的四边形法则的应用，构思比较巧妙，要注意体会掌握．