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已知点P是△ABC的内心(三个内角平分线交点)、外心(三条边的中垂线交点)、重心(三条中线交点)、垂心(三个高的交点)之一,且满足2
AP
BC
=
AC
2
-
AB
2
,则点P一定是△ABC的(  )
分析:设D为BC的中点,可得
AC
+
AB
=2
AD
.根据向量数量积的运算性质,将2
AP
BC
=
AC
2
-
AB
2
化简,得到2
BC
•(
AD
-
AP
)=0,从而得到
BC
PD
=0,即
BC
PD
,从而得到P在BC的垂直平分线上.由此根据三角形外心的性质,结合题意可得答案.
解答:解:设D为BC的中点,可得
AC
+
AB
=2
AD

AC
2
-
AB
2
=(
AC
 
+
AB
 
)(
AC
 
-
AB
 
)

∴点P满足2
AP
BC
=
AC
2
-
AB
2
=2
AD
•(
AC
-
AB

∵向量
BC
=
AC
-
AB

2
AP
BC
=2
AD
BC
,移项得2
BC
•(
AD
-
AP
)=0
BC
PD
=0,得
BC
PD
.结合D为BC的中点,可得P在BC的垂直平分线上
又∵点P是△ABC的内心、外心、重心和垂心之一
∴结合三角形外接圆的性质,得点P是△ABC的外心
故选:B
点评:本题给出三角形中的点P满足的向量等式,求点P是三角形四心中的哪一个.着重考查了向量的线性运算法则、向量的数量积及其运算性质和三角形的四心等知识,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•济南二模)已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点,且EF∥BC,实数x,y满足
PA
+x
PB
+y
PC
=0
.设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S1,S2,S3,记
S1
S
=λ1
S2
S
=λ2
S3
S
=λ3
.则λ2•λ3取最大值时,2x+y的值为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点,且EF∥BC,实数x,y满足
PA
+x
PB
+y
PC
=0
.设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S1,S2,S3,记
S3
S
 3
S 1
S
 1
S 2
S
 2
.则λ2•λ3取最大值时,2x+y的值为
3
2
3
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•朝阳区二模)已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点,且EF∥BC.设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S1,S2,S3,记
S1
S
=λ1
S2
S
=λ2
S3
S
=λ3
,定义M(P)=(λ1,λ2,λ3).当λ2•λ3取最大值时,则M(P)等于(  )

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年山东省临沂市沂南县大学卧龙学校高三(上)竞赛数学试卷(理科)(复习班)(解析版) 题型:选择题

已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点,且EF∥BC,实数x,y满足.设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S1,S2,S3,记.则λ2•λ3取最大值时,2x+y的值为( )
A.
B.
C.1
D.2

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