Question

【题目】已知函数

（1）判断函数的奇偶性

（2）若，判断函数在上的单调性并用定义证明

Answer 1

【答案】（1）偶函数（2）见解析

【解析】

（1）根据对数函数的性质，可得自变量的取值，再根据函数奇偶性的定义，判断f(x)与f(-x)的关系，由此可得函数的奇偶性；

（2）由对数的运算性质易得g(x)，根据单调性的定义，在满足定义域的某区间内选取任意两个自变量的值x1、x2，通过判断f(x1)与f(x2)的大小关系，即可得函数的单调性

（1）∵f(x)=lg(1+x)＋lg(1-x)，

∴1+x＞0且1x＞0，

∴-1＜x＜1，

∴x∈（-1，1）.

∵f(-x)=lg(1-x)＋lg(1+x)=f(x)，

∴函数f(x)为偶函数.

（2）g(x)在（0，1）上单调递减.

证明如下：

∵f(x)=lg(1-x2)=lg g(x)，

∴g(x)=1-x2.

任取0＜x1＜x2＜1，

则g(x1)-g(x2)=1-x12-(1-x22)

=(x1+x2)(x2-x1).

∵0＜x1＜x2＜1，

∴x1+x2＞0，x2-x1＞0，

∴g(x1)-g(x2)＞0，

∴g(x)在（0，1）上单调递减.