Question

【题目】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.

(1)求函数f(x)的极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间，根据函数的单调性，可得函数的极值；（2）方程 有三个实根等价于， 与 有三个交点，画出函数的大致图象，结合图象与函数的极值可求出取值范围.

试题解析：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，

解得x1＝－，x2＝.

因为当x>或x＜－时，f′(x)＞0；

当－＜x＜时，f′(x)＜0.

所以，f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；

单调递减区间为(－，)．

当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；

当x＝时，f(x)有极小值5－4.

(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．

所以，当5－4＜a＜5＋4时，

直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，

即方程f(x)＝a有三个不同的实根．