Question

（2012•安徽模拟）函数f(x)=asin

πx

2

+bcos

πx

2

的一个零点为

1

3

，且f(

3

2

)＜f(

13

12

)＜0，对于下列结论：
①f(

13

3

)=0；②f(x)≥f(

4

3

)；③f(

13

12

)=f(

17

12

)
④f（x）的单调减区间是[4k-

2

3

，4k+

1

3

](k∈Z)；
⑤f（x）的单调增区间是[4k+

4

3

，4k+

10

3

](k∈Z)．
其中正确的结论是

①②⑤

．（填写所有正确的结论编号）

Answer 1

分析：由题意可得f（x）=

a2+b2

sin（

π

2

x+φ），由f（

1

3

）=0，f(

3

2

)＜f(

13

12

)＜0，可确定φ，从而对①②③④⑤逐个判断即可．

解答：解：由题意可得：f（x）=

a2+b2

sin（

π

2

x+φ），
∵f（

1

3

）=0，
∴sin（

π

6

+φ）=0，
∴φ=kπ-

π

6

（k∈Z）．不妨取φ=-

π

6

或φ=

5π

6

；
又f(

3

2

)＜f(

13

12

)＜0，即sin（

π

2

×

3

2

+φ）＜sin（

π

2

×

13

12

+φ）＜0，
∴φ=

5π

6

．
∴f（x）=

a2+b2

sin（

π

2

x+

5π

6

），
对于①，f（

13

3

）=

a2+b2

sin（

π

2

×

13

3

+

5π

6

）=

a2+b2

sin3π=0，故①正确；
对于②f（

4

3

）=

a2+b2

sin（

π

2

×

4

3

+

5π

6

）=

a2+b2

sin

3π

2

=-

a2+b2

．
∴f（x）=

a2+b2

sin（

π

2

x+

5π

6

）≥-

a2+b2

=f（

4

3

），即②正确；
对于③，∵f（

13

12

）=

a2+b2

sin（

π

2

×

13

12

+

5π

6

）=

a2+b2

sin

33π

24

=-

a2+b2

sin

3π

8

．
f（

17

12

）=

a2+b2

sin（

π

2

×

17

12

+

5π

6

）=

a2+b2

sin

37π

24

=-

a2+b2

sin

13π

24

≠f（

13

12

）．故③错误；
对于④，由2kπ+

π

2

≤

π

2

x+

5π

6

≤2kπ+

3π

2

，（k∈Z）得其单调递减区间为：x∈[4k-

2

3

，4k+

4

3

]．故④错误．
对于⑤，由2kπ+

3π

2

≤

π

2

x+

5π

6

≤2kπ+

5π

2

，（k∈Z）得其单调递增区间为：x∈[4k+

4

3

，4k+

10

3

]．故⑤正确．
故答案为：①②⑤．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查辅助角公式的应用及正弦函数的性质，考查学生综合分析与转化运用知识解决问题的能力，属于难题．