Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数，）．

（Ⅰ）当时，若曲线上存在两点关于点成中心对称，求直线的参数方程；

（Ⅱ）在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为的直线与曲线相交于两点，若，求实数的值．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）由题意，得曲线的参数方程为（为参数），

消去参数，得，圆心坐标为．……………2分

∵曲线上存在两点关于点成中心对称，

∴，则由，得，

所以直线的倾斜角为，……………4分

所以直线的参数方程为，即（为参数）．……………6分

（Ⅱ）消去曲线的参数方程中的参数得，

圆心为，半径为．……………7分

又直线的极坐标方程可化为，……………8分

由，代入上式，得直线的普通方程为，

所以，∴．……………10分

【命题意图】本题考查直线的极坐标方程与直角坐标方程、圆的参数方程与普通方程的互化，以及直线与圆的位置关系，意在考查转化能力、运算求解能力．