Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（ab）=af（b）+bf（a）．
（1）求f（0）及f（1）的值；
（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（3）若f(2)=2，un=

f(2n)

2n

(n∈N*)，求证数列{u_n}是等差数列，并求{u_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）赋值法，令a=b=0和令a=b=1，可分别求出f（0）、f（1）
（2）构造f（-x）和f（x）之间的关系式，看符合奇函数还是偶函数，先赋值求出f（-1），再令a=-1，b=x即可
（3）利用定义法证明{u_n}是等差数列，求出通项公式

解答：解：（1）令a=b=0，代入得f（0）=0•f（0）+0•f（0）=0．
令a=b=1，代入得f（1）=1•f（1）+1•f（1），则f（1）=0．
（2）∵f（1）=f[（-1）²]=-f（-1）-f（-1）=0，∴f（-1）=0．
令a=-1，b=x，则f（-x）=f（-1•x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），
因此f（x）是奇函数．
（3）因为un+1=

f(2n+1)

2n+1

=

f(2•2n)

2n+1

=

2f(2n)+2nf(2)

2n+1

=

f(2n)

2n

+

f(2)

2

=u_n+1，即u_n+1-u_n=1，所以{u_n}是等差数列．又首项u1=

f(2)

2

=1，公差为1，
所以a_n=n，Sn=

n(n+1)

2

．

点评：本题考查赋值法的巧妙使用、奇函数和偶函数的判定以及等差数列的证明和通项公式的求法，难度不是很大．