Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC∩BD=O．
（Ⅰ）若AC⊥PD，求证：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABCD，求证：PB=PD；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD，若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD．…（1分）
∵AC⊥PD，PD∩BD=D，
∴AC⊥平面PBD．…（3分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知AC⊥BD．
∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD，
∴BD⊥平面PAC．…（5分）
∵PO⊥平面PAC，∴BD⊥PO．…（7分）
∵底面ABCD是菱形，∴BO=DO．
∴PB=PD．…（8分）
（Ⅲ）解：不存在．下面用反证法加以证明．…（9分）
假设存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD．
在菱形ABCD中，BC∥AD，
∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，
∴BC∥平面PAD．…（11分）
∵BM∥平面PBC，BC∥平面PBC，BC∩BM=B，
∴平面PBC∥平面PAD．…（13分）
这与平面PBC与平面PAD相交矛盾，故假设不成立．
∴在棱PC上不存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD．…（14分）
分析：（I）菱形的对角线AC⊥BD，结合已知条件AC⊥PD，利用线面垂直的判定定理可得AC⊥平面PBD；
（II）利用面面垂直的性质定理，结合AC⊥BD得到BD⊥平面PAC，从而BD⊥PO且PO是BD的垂直平分线，得到PB=PD；
（III）利用反证法证明：若在棱PC上是否存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD，就有平面PBC∥平面PAD的矛盾，从而证出在棱PC上不存在点M（异于点C）使得BM∥平面PAD．
点评：本题给出一个特殊四棱锥，要我们证明线面垂直，并且判断线面平行的存在性，着重考查了空间平行、垂直位置关系的判断与证明等知识，属于中档题．