Question

已知α，β，γ成公比为2的等比数列（α∈[0，2π]），且sinα，sinβ，sinγ也成等比数列．求α，β，γ的值．

Answer 1

分析：根据α，β，γ成公比为2的等比数列，可用α分别表示出β，γ；根据sinα，sinβ，sinγ成等比数列，进而可知

sinβ

sinα

=

sinγ

sinβ

，整理可求得cosα，进而求得α，最后通过α，β，γ的关系求得β，γ．

解答：解：∵α，β，γ成公比为2的等比数列，
∴β=2α，γ=4α，
∵sinα，sinβ，sinγ成等比数列
∴

sinβ

sinα

=

sinγ

sinβ

?

sin2α

sinα

=

sin4α

sin2α

?cosα=2cos2α-1即2cos²α-cosα-1=0解得cosα=1，或cosα=-

1

2

当cosα=1时，sinα=0，与等比数列的首项不为零，故cosα=1应舍去，当cosα=-

1

2

，α∈[0，2π]时，α=

2π

3

或α=

4π

3

，所以α=

2π

3

，β=

4π

3

，γ=

8π

3

或α=

4π

3

，β=

8π

3

，γ=

16π

3

点评：本题主要考查了等比数列的性质，三角函数两角和公式等．考查了学生综合分析问题的能力．