Question

已知函数f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m在区间[0，

π

2

]上的最大值为3，则
（Ⅰ）m=

 

；
（Ⅱ）当f（x）在[a，b]上至少含有20个零点时，b-a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用三角函数性质求得函数的最大值时的表达式，求得m．
（Ⅱ）利用函数解析式求得函数的周期，最大值和最小值，推断出每个完整周期由2个零点，且相隔为

π

3

的距离，通过共有20个零点除以2，可知在已知范围内最多有10个周期，最后通过10π-

2π

3

求得答案．

解答： （Ⅰ）f（x）=

3

sin2x+2cos²x+m=

3

sin2x+cos2x+1+m=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+1+m=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

∴当2x+

π

6

=

π

2

，函数f（x）最大为2+m+1=3，
∴m=0．
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴T=

2π

2

=π，A=2，函数的最大值是3、最小值是-1
∵函数初相=

π

3

∴在每个完整周期内，有2个0点
∵在[a，b]上至少含有20个零点
∴

20

2

=10，即在[a，b]至多含有10个周期，可保证有20个零点
∴b-a的最小值是10π-

2π

3

=

28π

3

．
故答案为：0，

28π

3

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．对于第2问要求区间[a，b]的最小宽度，首先要从某1个零点算起到恰好第20个零点结束，否则就不是最小宽度了；其次，要从间隔

2π

3

的两个零点的左边那个零点算起，直到间隔

π

3

的两个零点的右边那个零点结束，这样才是最小的宽度．