Question

指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答）
（1）在△ABC中，p：A＞B，q：sinA＞sinB

充要条件

（2）对于实数x，y，p：x+y≠8，q：x≠2或y≠6

充分不必要条件

（3）在△ABC中，p：sinA＞sinB，q：tanA＞tanB

既不充分也不必要条件

（4）已知x，y∈R，p：（x-1）²+（y-2）²=0，q：（x-1）（y-2）=0

充分非必要条件

Answer 1

分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，（1）中根据正弦定义，我们易判断在△ABC中，p：A＞B?a＞b?q：sinA＞sinB，然后根据充要条件的定义得到结论．（2）因为命题“若x=2且y=6，则x+y=8”是真命题，命题“若x+y=8，则x=2且y=6”是假命题，我们根据逆否命题真假性相同，易得结论．（3）取A=120°，B=30°，p不能推导出q；取A=30°，B=120°，q不能推导出p，根据充要条件的定义进行判断，即可得到答案．（4）因为P={（1，2）}，Q={（x，y）|x=1或y=2}，P?Q，然后根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，即可判断命题p与命题q的关系．

解答：解：（1）在△ABC中，有正弦定理知道：

a

sinA

=

b

sinB

∴sinA＞sinB?a＞b又由a＞b?A＞B
所以，sinA＞sinB?A＞B即p是q的充要条件
（2）因为命题“若x=2且y=6，则x+y=8”是真命题，故p⇒q，
命题“若x+y=8，则x=2且y=6”是假命题，故q不能推出p，
所以p是q的充分不必要条件
（3）取A=120°，B=30°，p不能推导出q；取A=30°，B=120°，q不能推导出p
所以，p是q的既不充分也不必要条件
（4）因为P={（1，2）}，Q={（x，y）|x=1或y=2}，P?Q，
所以，p是q的充分非必要条件．

点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．