Question

1．已知数列{x_n}、{y_n}中的项依次由如图所示的程序框图输出的x，y的值确定．
（1）分别写出数列{x_n}、{y_n}的递推公式；
（2）写出y₁，y₂，y₃，y₄，猜想{y_n}的一个通项公式y_n，并加以证明；
（3）设z_n=$\frac{{{{（-1）}^n}（{y_n}+1）}}{x_n^2-10}$，是否存在n₀∈N^*，使得对任意n∈N^*（n≤2012）都有z_n0≤z_n，若存在，求出n₀的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由由程序框图可知x_n+1=x_n+2，x₁=1，代入递推公式可得x₁，x₂，x₃，x₄，的值，进而根据等差数列的性质可得{x_n}是首项为x₁=1公差为2的等差数列，进而得到其通项公式；
（2）由程序框图可知y_n+1=3y_n+2，y₁=2，代入递推公式可得y₁，y₂，y₃，y₄，的值，进而猜想出数列{y_n}的一个通项公式y_n，理由综合法，可证明结论．
（3）利用（2）的结论不难得到Z_n的通项公式，则易得的Z_n+1-Z_n的值，所以根据该值来求满足条件的n₀的值．

解答 解：（1）由程序框图可知：
x_n+1=x_n+2，
x₁=1，x₂=3，x₃=5，x₄=7
∴{x_n}是首项为x₁=1公差为2的等差数列，
∴x_n=1+（n-1）2=2n-1，
即{x_n}的通项公式为x_n=2n-1，
（2）由程序框图可知y_n+1=3y_n+2，
∵y₁=2，∴y₂=8，y₃=26，y₄=80，
猜想y_n=3ⁿ-1，以下为证明：
∵y_n+1=3y_n+2，∴y_n+1+1=3（y_n+1），
∴{y_n+1}是首项为y₁+1=3，公比为3，
的等比数列，∴y_n+1=3ⁿ，
∴y_n=3ⁿ-1．
（3）由（1）知，x_n=2n-1（n∈N^*且n≤2012），于是Z_n=$\frac{{y}_{n}+1}{{{x}_{n}}^{2}-2012}$=$\frac{{3}^{n}}{（2n-1）^{2}-2012}$．
显然当n＜23时，Z_n＞0；
当n≥23时，Z_n＞0，
∴当Z_n最小时，n＜23，
设Z_n+1-Z_n=$\frac{{3}^{n+1}}{（2n+1）^{2}-2012}$-$\frac{{3}^{n}}{（2n-1）^{2}-2012}$=$\frac{（8{n}^{2}-16n-4022）•{3}^{n}}{[（2n+1）^{2}-2012][（2n-1）^{2}-2012]}$≥0，
解得：n≥1+$\frac{\sqrt{2015}}{2}$≈23.4，
∴当n＜23时，Z_n+1＜Z_n，即且0＜Z₂₂＜Z₂₁＜Z₂₀＜…＜Z₁，
∴Z_n-≥Z₂₂，
∴对任意n∈N^*且n≤2012），即存在n₀=22满足条件．

点评 本题考查的知识点是循环结构，等差数列的通项公式，等差数列的通项公式，等差关系的确定，等比关系的确定，正确理解流程图所表示的含义，分析出数列{x_n}与数列{y_n}的递推公式，即可得到答案．