Question

16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若cos²$\frac{B}{2}=\frac{a+c}{2c}$，则△ABC的形状为（　　）

• A． 正三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰三角形
• D． 等腰三角形或直角三角形

Answer 1

分析 已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，右边整理后，得出cosB=$\frac{a}{c}$①，利用余弦定理表示出cosB，代入等式化简得到b²+a²=c²，即可判断三角形ABC形状．

解答 解：已知等式变形得：cosB+1=$\frac{a}{c}$+1，
即cosB=$\frac{a}{c}$①，
由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
代入①得：$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{a}{c}$，
整理得：b²+a²=c²，
即有C为直角．
则△ABC为直角三角形．
故选B．

点评 此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．