Question

5．给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集为∅，
命题乙：函数y=（2a²-a）^x为增函数．
若命题甲的否定与命题乙中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是a＞1或a＜-1或-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 分别求出两个命题都为真命题的等价条件，然后结合条件命题甲的否定与命题乙中有且只有一个是真命题，等价为命题甲与命题乙的真假性相同，进行判断即可．

解答 解：命题甲为真时，△=（a-1）²-4a²＜0，即$a＜-1或a＞\frac{1}{3}$．
命题乙为真时，2a²-a＞1，解得 a＜-$\frac{1}{2}$，或 a＞1．
∵命题甲的否定与命题乙中有且只有一个是真命题，
∴命题甲与命题乙的真假性相同，
若都为真命题则$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{3}或a＜-1}\\{a＞1或a＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即a＞1或a＜-1，
若都为假命题，则$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤\frac{1}{3}}\\{-\frac{1}{2}≤a≤1}\end{array}\right.$，即$-\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{3}$．
综上所述：实数a的取值范围为a＞1或a＜-1或-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查命题的真假的应用，求出命题成立的等价条件是解决本题的关键．