Question

14．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$tan$\frac{πx}{ω}$（ω＞0）
（1）当ω=4时，求f（x）的最小正周期及单调区间；
（2）若|f（x）|≤3在x∈[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{4}$]上恒成立，求ω的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当ω=4时，根据正切函数的周期公式和单调性即可求f（x）的最小正周期及单调区间；
（2）根据|f（x）|≤3在x∈[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{4}$]上恒成立，建立了周期和最值之间的关系即可．

解答 解：（1）当ω=4时，f（x）=$\sqrt{3}$tan$\frac{π}{4}x$，
则f（x）的最小正周期T=$\frac{π}{\frac{π}{4}}=4$，
由kπ$-\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{4}x$＜kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得4k-2＜x＜4k+2，k∈Z，
即函数的单调递增区间为（4k-2，4k+2），k∈Z；
（2）∵ω＞0，
∴函数f（x）的周期T=$\frac{π}{\frac{π}{ω}}=ω$，
∴若|f（x）|≤3在x∈[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{4}$]上恒成立，
则f（x）在x∈[-$\frac{π}{3}，\frac{π}{4}$]上为单调递增函数，
满足$-\frac{π}{3}$＞-$\frac{1}{2}T$=-$\frac{ω}{2}$，
∴ω＞$\frac{2π}{3}$，
∵|f（$-\frac{π}{3}$）|＞f（$\frac{π}{4}$），
此时满足f（-$\frac{π}{3}$）≥-3，
即f（-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$tan（-$\frac{π}{3}$×$\frac{π}{ω}$）≥-3，
即tan（-$\frac{π}{3}$×$\frac{π}{ω}$）≥-$\sqrt{3}$，
则-$\frac{π}{3}$×$\frac{π}{ω}$≥$-\frac{π}{3}$，
则$\frac{π}{ω}$≤1，
即ω≥π，
综上ω≥π．

点评 本题主要考查正切函数的周期和单调性的应用，综合考查正切函数的图象和性质．