Question

17．已知a，b∈R，满足a²+3ab+9b²=4，则Z=a²+9b²的取值范围为[$\frac{8}{3}$，8]．

Answer 1

分析 由基本不等式得：a²+9b²≥|6ab|结合已知条件中的等式，得|6ab|≤4-3ab，从而解出ab的范围，由此代入已知条件，可得所求的取值范围．

解答 解：∵a²+3ab+9b²=4，∴Z=a²+9b²=4-3ab
∵由基本不等式，得a²+9b²≥|6ab|，
∴|6ab|≤4-3ab，得-4+3ab≤6ab≤4-3ab
解这个不等式，得-$\frac{4}{3}$≤ab≤$\frac{4}{9}$，
∴Z=a²+9b²=4-3ab∈[$\frac{8}{3}$，8]．
故答案为：[$\frac{8}{3}$，8]．

点评 本题以不等式为载体，求变量的取值范围，着重考查了用基本不等式求最值和简单的演绎推理等知识，属于基础题．