Question

已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a-x）=2b，则函数y=g（x）的图象关于点（a，b）中心对称”．设函数f(x)=

x+1-a

a-x

，定义域为A．
（1）试证明y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称；
（2）当x∈[a-2，a-1]时，求证：f(x)∈[-

1

2

， 0]；
（3）对于给定的x₁∈A，设计构造过程：x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n+1=f（x_n）．如果x_i∈A（i=2，3，4…），构造过程将继续下去；如果x_i∉A，构造过程将停止．若对任意x₁∈A，构造过程都可以无限进行下去，求a的值．

Answer 1

分析：本题的要求较高，需要理解新的定理，第（1）小问是对函数对称性的考查，第（2）小问是对函数值域求法的考查，相对比较容易，对于第（3）问要求理解构造的一个新数列的各项不会出现函数定义域A之外的元素，构造过程才可以继续，这就转化为恒成立的问题，进而分类讨论求出a．

解答：（1）∵f(x)=-1+

1

a-x

，∴f(a+x)+f(a-x)=(-1+

1

-x

)+(-1+

1

x

)=-2．
由已知定理，得y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称．（3分）
（2）先证明f（x）在[a-2，a-1]上是增函数，只要证明f（x）在（-∞，a）上是增函数．
设-∞＜x₁＜x₂＜a，则f(x1)-f(x2)=

1

a-x1

-

1

a-x2

=

x1-x2

(a-x1)(a-x2)

＜0，
∴f（x）在（-∞，a）上是增函数．再由f（x）在[a-2，a-1]上是增函数，得
当x∈[a-2，a-1]时，f（x）∈[f（a-2），f（a-1）]，即f(x)∈[-

1

2

， 0]．（7分）
（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴f(x)=

x+1-a

a-x

≠a对任意x∈A恒成立．
∴方程

x+1-a

a-x

=a无解，即方程（a+1）x=a²+a-1无解或有唯一解x=a．
∴

a+1=0 a2+a-1≠0

或

a+1≠0 a2+a-1 a+1 =a

由此得到a=-1（13分）

点评：本例考查的数学知识点有，函数的对称性，函数的定义域和值域的求法；数学思想有极限思想，方程思想；是一道函数综合题．