Question

已知f（x）=a²x-

1

2

x³，x∈（-2，2）为正常数．
（1）可以证明：定理“若a、b∈R^*，则

a+b

2

≥

ab

（当且仅当a=b时取等号）”推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论（无需证明）；
（2）若f（x）＞0在（0，2）上恒成立，且函数f（x）的最大值大于1，求实数a的取值范围，并由此猜测y=f（x）的单调性（无需证明）；
（3）对满足（2）的条件的一个常数a，设x=x₁时，f（x）取得最大值．试构造一个定义在D={x|x＞-2，且x≠4k-2，k∈N}上的函数g（x），使当x∈（-2，2）时，g（x）=f（x），当x∈D时，g（x）取得最大值的自变量的值构成以x₁为首项的等差数列．

Answer 1

分析：（1）充分分析已知不等式的结构特点即可推广出结论：

a+b+c

3

≥

3	abc

（当且仅当a=b=c时取等号）．
（2）首先对函数进行转化，进而将问题转化为：a2＞

1

2

x2在（0，2）上恒成立，即可获得a的一个条件，基本不等式的推广即可找到函数最大值的表达形式，即可获得a的另一个条件，考虑到函数的奇偶性和最值性进而问题即可获得解答；
（3）根据题意题意，结合函数的周期性特点选择四个周期函数即可．

解答：解：（1）若a、b、c∈R⁺，则

a+b+c

3

≥

3	abc

（当且仅当a=b=c时取等号）．
（2）f（x）=ax²-

1

2

x3=x(a2-

1

2

x2)＞0在（0，2）上恒成立，
即a²＞

1

2

x2在（0，2）上恒成立，
∵

1

2

x2∈（0，2），∴a²≥2，即a≥

2

，
又∵[f(x)]2=x2(a2-

1

2

x2)(a2-

1

2

x2)≤[

x2+(a2- 1 2 x2)+(a2- 1 2 x2)

3

]3=(

2a2

3

)3
∴x²=a²-

1

2

x2，即x=

6

3

a时，
f_max=

2 6

9

a3＞1?a3＞

2 6

9

=

3 6

4

=(

6

2

)3?a＞

6

2

，
又∵x=

6

3

a∈（0，2），∴a∈(0，

6

)．综上，得a∈[

2

，

6

)．
易知，f（x）是奇函数，∵x=

6

3

a时，函数有最大值，∴x=-

6

3

a时，函数有最小值．
故猜测：x∈(-2，-

6

3

a]∪ [

6

3

a，2)时，f（x）单调递减；x∈[-

6

3

a，

6

3

a]时，f（x）单调递增．
（3）依题意，只需构造以4为周期的周期函数即可．
如对x∈（4k-2，4k+2），k∈N，x-4k∈（-2，2），此时g（x）=g（x-4k）=f（x-4k），
即g（x）=a²（x-4k）-

1

2

 (x- 4k)3，x∈（4k-2，4k+2）．k∈N．

点评：本题考查的是数列与不等式的综合问题．在解答的过程当中充分体现了推广的思想、恒成立的思想以及构造的思想．值得同学们体会反思．