Question

已知f（x）=a^2x-2a^x+1+2，（a＞0，a≠1）的定义域为[-1，+∞）．
（Ⅰ）若a=2，求y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，若f（x）≤3对x∈[-1，2]恒成立，求a的范围．

Answer 1

分析：（I）换元，转化为二次函数，利用配方法可求y=f（x）的最小值；
（Ⅱ）换元，分离参数，求最大值，即可求a的范围．

解答：解：（Ⅰ）若a=2，f（x）=2^2x-4×2^x+2，x∈[-1，+∞）
令t=2^x，g（t）=f（x）=t²-4×t+2=（t-2）²-2，
∵t∈[

1

2

，+∞)，∴f（x）的最小值为-2；…（5分）
（Ⅱ）令t=a^x，h(t)=f(x)=t2-2at+2≤3⇒2a≥t-

1

t

…（7分）
当0＜a＜1时，2a≥t-

1

t

在t∈[a2，

1

a

]恒成立…（9分）⇒2a≥[t-

1

t

]max=

1

a

-a⇒3a≥

1

a

⇒a≥

3

3

…（11分）
所以a∈[

3

3

，1)．…（12分）

点评：本题考查函数的最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．