Question

【题目】如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为8cm，M，N，P分别是AB，A1D1 ， BB1的中点．
（1）画出过M，N，P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线；
（2）设过M，N，P三点的平面与B1C1交于Q，求PQ的长．

Answer 1

【答案】解：（1）如图所示：∵MP平面ABB1 ，
∴MP与底面ABCD的交点K必在侧面ABB1与底面ABCD的交线AB上，
∴过点M，N，P的平面与平面ABCD的交线是NK，（K在线段AB的延长线上），与平面BB1C1C的交线是PQ（Q在线段BC上）．∵BK∥A1B1 ，
∴==1，∴BK=4．
∵BQ∥AN，∴==，
∴BQ=．
（2）由（1）可知：BQ=，BP=4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得PQ==．

【解析】（1）根据MP与底面ABCD的交点K必在侧面ABB1与底面ABCD的交线AB上，连接NK交BC与Q，与平面BB1C1C的交线是PQ．
（2）根据（1）得到的交线PQ，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得．