【题目】已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;
(3)若对于任意都有f(kx2)+f(2x﹣1)>0成立,求实数k的取值范围.
【答案】解:(1)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0=0,解得b=1,
f(x)=,又由f(1)=﹣f(﹣1)
=
,解得a=2.
(2)证明:由(1)可得:f(x)==
.
x1<x2 , ∴>0,
则f(x1)﹣f(x2)==
>0,
∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)在R上是减函数.
(3)∵函数f(x)是奇函数.
∴f(kx2)+f(2x﹣1)>0成立,等价于f(kx2)>﹣f(2x﹣1)=f(1﹣2x)成立,
∵f(x)在R上是减函数,∴kx2<1﹣2x,
∴对于任意都有kx2<1﹣2x成立,
∴对于任意都有k<
,
设g(x)=,
∴g(x)==
,
令t=,t∈[
,2],
则有,
,∴g(x)min=g(t)min=g(1)=﹣1
∴k<﹣1,即k的取值范围为(﹣∞,﹣1)
【解析】(1)直接根据函数是奇函数,满足f(﹣x)=﹣f(x),把x=0,和x=1代入,即可得到关于a,b的两个等式,解方程组求出a,b的值.
(2)利用减函数的定义即可证明.
(3))f(kx2)+f(2x﹣1)>0成立,等价于f(kx2)>﹣f(2x﹣1)=f(1﹣2x),即k<成立,设g(x)=
,
换元使之成为二次函数,再求最小值.
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【题目】某车间计划每天生产卡车模型、赛车模型、小汽车模型这三种玩具共100个,已知生产一个卡车模型需5分钟,生产一个赛车模型需7分钟,生产一个小汽车模型需4分钟,且生产一个卡车模型可获利润8元,生产一个赛车模型可获利润9元,生产一个小汽车模型可获利润6元.若总生产时间不超过10小时,该公司合理分配生产任务使每天的利润最大,则最大利润是______________元.
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【题目】如图所示,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为8cm,M,N,P分别是AB,A1D1 , BB1的中点.
(1)画出过M,N,P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线以及与平面BB1C1C的交线;
(2)设过M,N,P三点的平面与B1C1交于Q,求PQ的长.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为
,以极点为原点,极轴为
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线
的参数方程为
(
为参数).
(1)判断直线与曲线
的位置关系,并说明理由;
(2)若直线和曲线
相交于
两点,且
,求直线
的斜率.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的方程为
,在以原点为极点,
轴的非负关轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)将上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长到原来的2倍和
倍后得到曲线
,求曲线
的参数方程;
(2)若分别为曲线
与直线
的两个动点,求
的最小值以及此时点
的坐标.
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【题目】下列命题中
①函数f(x)=( )x的递减区间是(﹣∞,+∞)
②已知函数f(x)的定义域为(0,1),则函数f(x+1)的定义域为(1,2);
③已知(x,y)映射f下的象是(x+y,x﹣y),那么(4,2)在f下的原象是(3,1).
其中正确命题的序号为 .
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