Question

已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值．
（2）求y=f（x）在R上的单调区间．

Answer 1

分析：首先分析函数表达式f（x）=2sinx（sinx+cosx），不是三角函数的标准型，需要化简为标准型，再根据周期公式直接求解．然后根据sinx函数的单调区间列出关系式求解f（x）的单调区间即可．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sin²x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+

2

(sin2xcos

π

4

-cos2xsin

π

4

)=1+

2

sin(2x-

π

4

)
所以函数f（x）的最小正周期为π，最大值为1+

2

．
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)
得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

(k∈Z)
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)
得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

(k∈Z)
所以，单调增区间[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

](k∈Z)；单调减区间[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

](k∈Z)

点评：此题主要考查三角函数周期性最值和单调区间的求法，此类题目求解时候注意要先把三角函数表达式化为标准形式再求解．