Question

17．一场晚会有3个唱歌节目和2个舞蹈节目，要求排出一个节目单．（用数字作答）
（1）前3个节目中要有舞蹈，有多少种排法？
（2）2个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？
（3）2个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？

Answer 1

分析 （1）先不考虑限制条件，5个节目全排列有A₅⁵=120种方法，前3个节目中要有舞蹈的否定是前3个节目全是唱歌有A₃³A₂²=12种方法，用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果．
（2）要把2个舞蹈节目要排在一起，则可以采用捆绑法，把2个舞蹈节目看做一个元素和另外3个元素进行全排列，不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列．
（3）2个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把3个唱歌节目排列，形成4个位置，选2个把舞蹈节目排列．

解答 解（1）∵5个节目全排列有A₅⁵=120种方法，
若前3个节目中要有舞蹈的否定是前3个节目全是唱歌有A₃³A₂²=12种方法，
∴前4个节目中要有舞蹈有120-12=108种方法；
（2）∵2个舞蹈节目要排在一起，
∴可以把2个舞蹈节目看做一个元素和另外3个元素进行全排列，
三个舞蹈节目本身也有一个排列有A₄⁴A₂²=48种方法；
（3）2个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，
先把3个唱歌节目排列，形成4个位置，选2个把舞蹈节目排列，
有A₃³A₄²=72种方法．

点评 本题是一个排列组合典型，文科在高考时能考到，理科近几年单独考查排列组合的题目都是以选择和填空出现，实际上所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段（排序）可转化为排列问题．