Question

已知二次函数f（x）的顶点坐标为（1，1），且f（0）=3．
（1）当x∈[-1，1]，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．
（2）若f（x）在区间[a，a+1]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式．
（3）求g（a）最小值．

Answer 1

分析：（1）设二次函数解析式为f（x）=ax²+bx+c，结合已知条件建立关于a、b、c的方程组，解之即得a、b、c的值，从而得到f（x）的解析式．再用变量分离的方法，通过求最值得到使函数在[-1，1]上的图象恒在y=2x+2m+1的上方的m取值范围．
（2）因为函数f（x）的图象是关于直线x=1对称的抛物线且开口向上，可得f（x）在区间[a，a+1]上的最大值为f（a）和f（a+1）中的较大值，再用作差比较的方法，得到不同情况下函数最大值的情况，从而得到f（x）在区间[a，a+1]上的最大值g（a）的表达式．
（3）由二次函数的单调性可得，函数g（a）在R上先减后增，由此不难得到函数g（a）最小值．

解答：解：（1）设二次函数的解析式为f（x）=ax²+bx+3
∵函数f（x）图象的顶点坐标为（1，1），
∴-

b

2a

=1且f（1）=a+b+3=1．解之得a=2，b=-4
∴二次函数的解析式为f（x）=2x²-4x+3
∵y=f（x）当x∈[-1，1]时的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，
∴2x²-4x+3＞2x+2m+1在区间[-1，1]恒成立，即2m＜2x²-6x+2在区间[-1，1]恒成立，
∵函数t=2x²-6x+2在区间[-1，1]是减函数
∴当x=1时，2x²-6x+2的最小值是-2，
可得当2m＜2x²-6x+2在区间[-1，1]恒成立时，2m＜-2，即m＜-1；
（2）∵f（x）=2x²-4x+3的图象是关于直线x=1对称的抛物线，开口向上
∴函数在区间[a，a+1]上的最大值为f（a）和f（a+1）中的较大值
∵f（a+1）-f（a）=4a-2，
∴当a≥

1

2

时，4a-2≥0，可得f（a+1）＞f（a），函数最大值为f（a+1）=2a²+1
当a＜

1

2

时，4a-2＜0，可得f（a+1）＜f（a），函数最大值为f（a）=2a²-4a+3
因此，f（x）在区间[a，a+1]上的最大值g（a）的表达式为g（a）=

2a2+1          (a≥ 1 2 ) 2a2-4a+3   (a＜ 1 2 )

（3）当a≥

1

2

时，g（a）=2a²+1在区间[

1

2

，+∞）上是增函数，最小值为g（

1

2

）=

3

2

，
当a＜

1

2

时，g（a）=2a²-4a+3，在区间（-∞，

1

2

）上是减函数，最小值大于g（

1

2

）
∴函数g（a）最小值为g（

1

2

）=

3

2

点评：本题以二次函数为例，求函数在闭区间上的最大值的表达式，并求不等式恒成立时参数m的取值范围，着重考查了二次函数的单调性、图象的对称性和函数恒成立问题的讨论等知识，属于中档题．