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    如图四棱锥P—ABCD，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD成60°角，在四边形ABCD中，∠D=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2.

    (1)若PB中点为M，求证平面AMC⊥平面PBC；

    (2)求异面直线PA与BC所成的角.

    解法一：（1）∵PA=2AD=4,PA=AB=4,M为PB的中点，?

    ∴AM⊥PB，PD=2，PC==BC，?

    ∴CM⊥PB，AM∩CM=M，?

    ∴PB⊥面AMC，?

    ∴面AMC⊥面PBC.?

    (2)过点A作AE平行于BC交CD的延长线于E点，连PE.AE=BC=，PA=4，PE=，

    cos∠PAE==，所以异面直线PA与BC所成的角为arccos.

    解法二：建立空间直角坐标系，以D点为原点，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DP所在直线为z轴.?

    （1）M(1,2,),B(2,4,0),=(-1,2,),=(1,1,),=(2,4,-2),

    ∴·=0，·=0，

    ∴面AMC⊥面PBC.?

    (2)=(2,0,-2),=(-2,-3,0,),cos〈,〉=-.?

    ∴异面直线PA与BC所成的角为arccos.

    练习册系列答案
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    已知如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且AG=
    1
    3
    GD，GB⊥GC．GB=GC=2，PG=4    ，E是BC的中点．
    （1）求证：PC⊥BG；
    （2）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
    （3）若F是PC上一点，且DF⊥GC，求
    CF
    CP
    的值．

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    科目：高中数学 来源：上海市模拟题 题型：解答题

    如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=BC=1，AB=，F是BC的中点.
    (1)求证：DA⊥平面PAC；
    (2)试在线段PD上确定一点G，使CG∥平面PAF，并求三棱锥A-CDG的体积.

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    科目：高中数学 来源：浙江省模拟题 题型：解答题

    已知如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且AG=GD，GB⊥GC，GB=GC=2，PC=4，E是BC的中点．
    (Ⅰ)求证：PC⊥BG；
    (Ⅱ)求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
    (Ⅲ)若F是PC上一点，且DF⊥GC，求的值。

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图,四棱锥P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°，PA=AB=1，AD=3，且∠ADC=arcsin.求:

    (1)三棱锥P—ACD的体积;

    (2)直线PC与AB所成角的大小.

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    科目：高中数学 来源：2012年浙江省高考数学冲刺试卷A（理科）（解析版） 题型：解答题

    已知如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且，E是BC的中点．
    （1）求证：PC⊥BG；
    （2）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
    （3）若F是PC上一点，且的值．

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