Question

17．已知：${（{\sqrt{x}-\frac{1}{{2\root{4}{x}}}}）^n}$的展开式中前三项系数的绝对值依次成等差数列．
（1）证明：展开式中没有常数项；
（2）求展开式中的所有x的整数次幂的项．

Answer 1

分析 （1）利用二项展开式的通项公式求出前三项的系数，列出方程求出n，再利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0得到常数项，由方程无解得证；
（2）令展开式中的x的指数为有理数，求出k值，再写出相应的有理项．

解答 解：依题意，前三项系数的绝对值是1，C¹_n（$\frac{1}{2}$），C²_n（$\frac{1}{2}$）²，
且2C¹_n•$\frac{1}{2}$=1+C²_n（$\frac{1}{2}$）²，
即n²-9n+8=0，解得n=8或n=1（不合题意，舍去），
∴展开式的第k+1项为
C^k₈（$\sqrt{x}$）^8-k（-$\frac{1}{2\root{4}{x}}$）^k
=（-$\frac{1}{2}$）^kC^k₈•${x}^{\frac{8-k}{2}}$•${x}^{-\frac{k}{4}}$
=（-$\frac{1}{2}$）^k•C^k₈•${x}^{\frac{16-3k}{4}}$；
（1）证明：若第k+1项为常数项，
当且仅当$\frac{16-3k}{4}$=0，即3k=16，
由k∈Z得这是不可能的，
所以其展开式中没有常数项；
（2）若第k+1项为有理项，当且仅当$\frac{16-3k}{4}$为整数，
∵0≤k≤8，k∈Z，∴k=0，4，8，
即展开式中的有理项共有三项，它们是：
T₁=x⁴，T₅=$\frac{35}{8}$x，T₉=$\frac{1}{256}$x^-2．

点评 本题考查了利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，是综合性题目．