Question

5．如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB的距离为20$\sqrt{3}$m，∠DAB=75°，∠CAB=30°，AB⊥BC，∠ABD=60°．则C，D两点之间的距离为10$\sqrt{10}$ m．

Answer 1

分析 在RT△ABC中，BC=ABtan∠CAB．在△ABD中，由正弦定理可得：$\frac{BD}{sin∠DAB}$=$\frac{AB}{sin∠ADB}$，解得BD．在△BCD中，利用余弦定理可得DC．

解答 解：在RT△ABC中，BC=ABtan∠CAB=20$\sqrt{3}$×tan30°=20．
在△ABD中，∠ADB=180°-∠DAB-∠ABD=45°．
由正弦定理可得：$\frac{BD}{sin∠DAB}$=$\frac{AB}{sin∠ADB}$，
∴BD=$\frac{20\sqrt{3}×sin7{5}^{°}}{sin4{5}^{°}}$=$\frac{20\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=10（3+$\sqrt{3}$）．
在△BCD中，由余弦定理可得：DC²=20²+$100（3+\sqrt{3}）^{2}$-2×20×10（3+$\sqrt{3}$）×cos30°=1000，
解得DC=10$\sqrt{10}$．
故答案为：10$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．