Question

15．如图，在△ABC中，AB=2，3acosB-bcosC=ccosB，点D在线段BC上．
（Ⅰ）若∠ADC=$\frac{3π}{4}$，求AD的长；
（Ⅱ）若BD=2DC，△ACD的面积为$\frac{4}{3}\sqrt{2}$，求$\frac{sin∠BAD}{sin∠CAD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得3sinAcosB=sinA，结合sinA＞0，可求$cosB=\frac{1}{3}$，利用同角三角函数基本关系式可求sinB，进而可求$∠ADB=\frac{π}{4}$，由正弦定理即可求得AD的值．
（Ⅱ）设DC=a，则BD=2a，利用已知及三角形面积公式可求a，利用余弦定理可求AC，由正弦定理可得$sin∠CAD=\frac{{\sqrt{2}}}{4}sin∠ADC$，结合sin∠ADB=sin∠ADC，即可求值得解．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵3acosB-bcosC=ccosB，
∴3sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，3sinAcosB=sin（B+C），
∵B+C=π-A，
∴3sinAcosB=sinA，
∵A∈（0，π），
∴sinA＞0，$cosB=\frac{1}{3}$．…（2分）
∵B∈（0，π），
∴$sinB=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．…（3分）
∵$∠ADC=\frac{3π}{4}$，
∴$∠ADB=\frac{π}{4}$，
在△ABD中，由正弦定理得，$\frac{AD}{sinB}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，
∴$\frac{AD}{{\frac{{2\sqrt{2}}}{3}}}=\frac{2}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}$，$AD=\frac{8}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）设DC=a，则BD=2a，
∵BD=2DC，△ACD的面积为$\frac{4}{3}\sqrt{2}$，
∴${S_{△ABC}}=3{S_{△ACD}}=4\sqrt{2}$，
∴$4\sqrt{2}=\frac{1}{2}×2×3a×\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
∴a=2．…（8分）
∴$AC=\sqrt{4+36-2×2×6×\frac{1}{3}}=4\sqrt{2}$，由正弦定理可得$\frac{4}{sin∠BAD}=\frac{2}{sin∠ADB}$，
∴$sin∠BAD=\frac{1}{2}sin∠ADB$．$\frac{2}{sin∠CAD}=\frac{{4\sqrt{2}}}{sin∠ADC}$，
∴$sin∠CAD=\frac{{\sqrt{2}}}{4}sin∠ADC$，
∵sin∠ADB=sin∠ADC，
∴$\frac{sin∠BAD}{sin∠CAD}=\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，熟练掌握相关公式定理的应用是解题的关键，属于中档题．