Question

20．已知等差数列{a_n}中，a₁+a₄=10，a₃=6．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若${b_n}=\frac{4}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设公差为d，∵a₁+a₄=10，a₃=6．
∴$\left\{\begin{array}{l}2{a_1}+3d=10\\{a_1}+2d=6\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=2\\ d=2\end{array}\right.$，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${b_n}=\frac{4}{2n•2（n+1）}$，从而${b_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${S_n}=（{1-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+…+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．