Question

10．设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值
（2）已知f（1）=$\frac{15}{4}$，函数g（x）=a^2x+a^-2x-2f（x），x∈[0，1]，求g（x）的值域；
（3）在第（2）问的条件下，试问是否存在正整数λ，使得f（2x）≥λ•f（x）对任意x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]恒成立？若存在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）f（x）是定义域为R的奇函数．f（0）=0，可得k的值．
（2）f（1）=$\frac{15}{4}$，求出a的值，可得f（x），函数g（x）=a^2x+a^-2x-2f（x），x∈[0，1]，可求g（x）的值域；
（3）假设存在满足条件的正整数λ，转化成不等式问题求解，分类讨论其正整数λ的值即可．

解答 解：（1）由题意：函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R的奇函数．
∴f（0）=0，即k-1=0，解得：k=1，
故得函数f（x）=a^x-a^-x，
（2）∵f（1）=$\frac{15}{4}$，
可得f（1）=$a-\frac{1}{a}$=$\frac{15}{4}$，
解得：a=4或a=$-\frac{1}{4}$，
∵a＞0，
故得：a=4．
∴函数f（x）=4^x-4^-x
∵函数g（x）=a^2x+a^-2x-2f（x），x∈[0，1]，
∴g（x）=4^2x+4^-2x-2（4^x-4^-x）=（4^x-4^-x）²-2（4^x-4^-x）+2
令t=4^x-4^-x，
∵x∈[0，1]，由（1）知t=f（x）在[0，1]上为增函数，
∴t∈[0，$\frac{15}{4}$]．
那么：g（x）=（4^x-4^-x）²-2（4^x-4^-x）+2转化为h（t）=t²-2t+2，
函数h（t）图象开口向上，对称轴t=1，
∴当$t=\frac{15}{4}$时，h（t）有最大值$\frac{137}{16}$；即函数g（x）最大值为$\frac{137}{16}$．
当t=1时，h（t）有最小值1，即函数g（x）最小值为1．
∴函数g（x）的值域为[1，$\frac{137}{16}$]．
（3）由（2）可得f（2x）=4^2x-4^-2x=（4^x+4^-x）（4^x-4^-x）
∵f（2x）≥λ•f（x），即为（4^x+4^-x）（4^x-4^-x）≥λ•（4^x-4^-x）．
假设存在满足条件的正整数λ，
∵x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，
①当x=0时，不等式恒成立，
故得：λ∈R．
②当x∈（0，$\frac{1}{2}$]时，4^x-4^-x＞0，不等式转化为4^x+4^-x≥λ；
令u=4^x，
则：1＜u≤2．
易证：Z=$u+\frac{1}{u}$在（1，2]上是增函数，其最小值为2．
故得：λ≤2．
③当x∈[-$\frac{1}{2}$，0）时，4^x-4^-x＜0，不等式转化为4^x+4^-x≤λ；
令v=4^x，
则：$\frac{1}{2}$≤v＜1，
易证：Z′=$v+\frac{1}{v}$在[$\frac{1}{2}$，1）上是减函数，其最大值为$\frac{5}{2}$．
故得：λ≥$\frac{5}{2}$．
综上所得，λ不存在固定的值．
∴不存在正整数λ，使得f（2x）≥λ•f（x）对任意x∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]恒成立．

点评 本题考查指数函数的解析式的求法，值域的综合问题，恒成立的讨论转化为不等式求解．属于难题．