Question

6．已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间$[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论．
（2）利用定义域和值域求得f（x）在区间$[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$上的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²x+cos²x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
∴函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由（1）的计算结果知，f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]时，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{3π}{4}$，$\frac{7π}{4}$]，
由正弦函数y=sin t在$[{\frac{3}{4}π，\frac{3}{2}π}]$单调递减，在$[{\frac{3}{2}π，\frac{7}{4}π}]$上单调递减．
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，即x=$\frac{π}{4}$时，f（x）取最大值2；
当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$，即x=$\frac{5π}{8}$时，f（x）取最小值-$\sqrt{2}$+1．
综上，f（x）在区间$[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$上的最大值为2，最小值为-$\sqrt{2}$+1．

点评 本题主要考查三角恒等变换、正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．