Question

16．函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=（x+2y+2）x成立，且f（2）=12．
（1）求f（0）的值；
（2）在（1，4）上存在x₀∈R，使得f（x₀）-8=ax₀成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=2，y=0，则f（2+0）-f（0）=（2+0+2）×2=8．即可得出．
（2）令y=0，易得：f（x）=x²+2x+4．在（1，4）上存在x₀∈R，使得f（x₀）-8=ax₀成立，等价于方程x²+2x=4-8=ax在（1，4）内有解．即a=x+2-$\frac{4}{x}$，1＜x＜4．设函数g（x）=x-$\frac{4}{x}$+2（x∈（1，4））．证明其单调性即可得出．

解答 解：（1）令x=2，y=0，则f（2+0）-f（0）=（2+0+2）×2=8．
∵f（2）=12，∴f（0）=4．
（2）令y=0，易得：f（x）=x²+2x+4．
在（1，4）上存在x₀∈R，使得f（x₀）-8=ax₀成立，
等价于方程x²+2x=4-8=ax在（1，4）内有解．
即a=x+2-$\frac{4}{x}$，1＜x＜4．
设函数g（x）=x-$\frac{4}{x}$+2（x∈（1，4））．
设x₁，x₂是（1，4）上任意两个实数，且x₁＜x₂，则
g（x₁）-g（x₂）=（x₁-x₂）$（1+\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}）$．
由1＜x₁＜x₂＜4，得x₁-x₂＜0，
于是g（x₁）-g（x₂）＜0，
即g（x₁）＜g（x₂），
所以函数g（x）=x-$\frac{4}{x}$+2在（1，4）上是增函数．
∴实数a的取值范围是（-1，5）．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性、不等式的解法，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．