Question

18．已知关于x的一元二次不等式mx²-（1-m）x+m≥0的解集为R，则实数m的取值范围是[$\frac{1}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 当m=0时，不等式可化为-x≥0，解得x≤0，显然不恒成立
当m≠0时，不等式mx²-（1-m）x+m≥0的解集为R，则对应的二次函数y=mx²-（1-m）x+m的图象应开口朝上，且与x轴没有交点，由此构造不等式组，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：当m=0时，不等式可化为-x≥0，解得x≤0，显然不恒成立，
当m≠0时，不等式mx²-（1-m）x+m≥0的解集为R，
则对应的二次函数y=mx²-（1-m）x+m的图象应开口朝上，且与x轴没有交点，
故$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{（1-m）^{2}-4{m}^{2}≤0}\end{array}\right.$，解得m≥$\frac{1}{3}$，
综上所述，实数m的取值范围是[$\frac{1}{3}$，+∞），
故答案为：[$\frac{1}{3}$，+∞）．

点评 本题考查的知识点是一元二次不等式的应用，其中解答时易忽略m=0时．属于基础题．