Question

7．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的n∈N^*，点（n，S_n）恒在函数y=$\frac{3}{2}{x^2}+\frac{3}{2}$x的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记T_n=$\frac{{{a_n}•{a_{n+1}}}}{2^n}$，若对于一切的正整数n，总有T_n≤m成立，求实数m的取值范围；
（3）设K_n为数列{b_n}的前n项和，其中b_n=2^a_n，问是否存在正整数n，t，使$\frac{{{K_n}-t{b_n}}}{{{K_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=S_n-S_n-1求解；（2）要使T_n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需m≥{T_n}中的最大值即可；（3）求解有关正整数n的不等式．

解答 解：（1）由已知，得${S_n}=\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n$…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{3}{2}{n^2}+\frac{3}{2}n-[\frac{3}{2}{（n-1）^2}+\frac{3}{2}（n-1）]$=3n…（2分）
当n=1时，a₁=S₁=3．∴a_n=3n…（3分）
（2）解法一：${T_n}=\frac{9n（n+1）}{2^n}⇒$${T_{n+1}}-{T_n}=\frac{9（n+1）（n+2）}{{{2^{n+1}}}}-\frac{9n（n+1）}{2^n}=\frac{9（n+1）（2-n）}{{{2^{n+1}}}}$．（4分）
当n=1时，T_n+1＞T_n，即T₂＞T₁；当n=2时，T_n+1=T_n，即T₃=T₂；
当n≥3时，T_n+1＜T_n，即T_n＜T_n-1＜…＜T₄＜T₃…（6分）
∴{T_n}中的最大值为${T_2}={T_3}=\frac{27}{2}$，
要使T_n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需$\frac{27}{2}≤m$∴$m≥\frac{27}{2}$…（7分）
解法二：${T_n}=\frac{{{a_n}•{a_{n+1}}}}{2^n}=\frac{9n（n+1）}{2^n}$$⇒\frac{{{T_{n+1}}}}{T_n}=\frac{{\frac{9（n+1）（n+2）}{{{2^{n+1}}}}}}{{\frac{9n（n+1）}{2^n}}}=\frac{n+2}{2n}$…（4分）
当n=1，2时，T_n+1≥T_n；当n≥3时，n+2＜2n⇒T_n+1＜T_n
∴n=1时，T₁=9；n=2，3时，${T_2}={T_3}=\frac{27}{2}$n≥4时，T_n＜T₃…（6分）
∴{T_n}中的最大值为${T_2}={T_3}=\frac{27}{2}$，
要使T_n≤m对于一切的正整数n恒成立，只需$\frac{27}{2}≤m$∴$m≥\frac{27}{2}$…（7分）
（3）${b_n}={2^{a_n}}={2^{3n}}=8{\;}^n⇒{K_n}=\frac{{8（1-{8^n}）}}{1-8}=\frac{8}{7}（8{\;}^n-1）$…（8分）
将K_n代入$\frac{{{K_n}-t{b_n}}}{{{K_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$，化简得，$\frac{{（{\frac{8}{7}-t}）{8^n}-\frac{8}{7}}}{{（{\frac{8}{7}-t}）{8^n}-\frac{1}{7}}}＜\frac{1}{2}$（﹡）…（9分）
若t=1时，$\frac{{\frac{8^n}{7}-\frac{8}{7}}}{{\frac{8^n}{7}-\frac{1}{7}}}＜\frac{1}{2}，即\frac{8^n}{7}＜\frac{15}{7}$，显然n=1时成立； …（10分）
若t＞1时，$（{\frac{8}{7}-t}）{8^n}-\frac{1}{7}＜0$（﹡）式化简为$（{\frac{8}{7}-t}）{8^n}＞\frac{15}{7}$不可能成立 …（11分）
综上，存在正整数n=1，t=1使$\frac{{{K_n}-t{b_n}}}{{{K_{n+1}}-t{b_{n+1}}}}＜\frac{1}{16}$成立 …（12分）

点评 本题考察了数列中a_n和s_n的转换关系式，数列中恒成立问题的处理方法，属于难题．