Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{b_n}的前n项和，其中b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{2{S_n}•{S_{n+1}}}}$，求T_n；
（Ⅲ）若存在n∈N^*，使得T_n-λa_n≥3λ成立，求出实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知数列的前n项和，利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求数列的通项公式；
（Ⅱ）把b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{2{S_n}•{S_{n+1}}}}$变形，利用裂项相消法化简，代入S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$得答案；
（Ⅲ）把a_n、T_n代入T_n-λa_n≥3λ，分离参数λ，利用不等式求得最值得答案．

解答 解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}-\frac{（n-1）n}{2}$=n，
当n=1时，a₁=S₁=1也符合上式，
∴a_n=n；
（Ⅱ）∵${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{{2{S_n}•{S_{n+1}}}}=\frac{{{S_{n+1}}-{S_n}}}{{2{S_n}•{S_{n+1}}}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n+1}}}}}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{2}[{（{\frac{1}{S_1}-\frac{1}{S_2}}）+（{\frac{1}{S_2}-\frac{1}{S_3}}）+…+（{\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n+1}}}}}）}]=\frac{1}{2}（{\frac{1}{S_1}-\frac{1}{{{S_{n+1}}}}}）$
=$\frac{1}{2}[{1-\frac{2}{（n+1）（n+2）}}]=\frac{{{n^2}+3n}}{2（n+1）（n+2）}$；
（Ⅲ）∵存在n∈N^*，使得T_n-λa_n≥3λ成立，
∴存在n∈N^*，使得$\frac{{{n^2}+3n}}{2（n+1）（n+2）}≥λ（n+3）$成立，即$λ≤\frac{n}{2（n+1）（n+2）}$有解，
∴$λ≤{[{\frac{n}{2（n+1）（n+2）}}]_{max}}$，
而$\frac{n}{2（n+1）（n+2）}=\frac{1}{{2（n+\frac{2}{n}+3）}}≤\frac{1}{12}$，当n=1或n=2时取等号，
∴λ的取值范围为$（{-∞，\frac{1}{12}}]$．

点评 本题考查数列递推式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，训练了利用分离参数法求解数列恒成立问题，是中档题．