Question

已知二次函数f（x）=ax²+8x+3．
（1）若函数f（x）=ax²+8x+3的图象恒在直线y=5的下方，求实数a的范围；
（2）对于给定的负数a，有一个最大的正数l（a），使得在整个区间[0，l（a）]上，不等式|f（x）|≤5都成立．问a为何值时l（a）最大？求出这个最大的l（a），证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=ax²+8x+3的图象恒在直线y=5的下方，等价于f（x）_max＜5，配方后可求f（x）的最大值；
（2）当3-

16

a

＞5，3-

16

a

≤5两种情况进行讨论：作出图象，借助图象可转化为解方程|f（x）|=5，根据根的情况可求；

解答：解：（1）将f（x）配方得：f（x）=a（x+

4

a

）²+3-

16

a

，
由于a＜0，于是f（x）_max=3-

16

a

．
因为函数f（x）=ax²+8x+3的图象恒在直线y=5的下方，所以3-

16

a

＜5，解得a＜-8；
（2）分①当3-

16

a

＞5，即-8＜a＜0时，如左图所示：
有l（a）∈（0，-

4

a

），且f（l（a））=5．
令ax²+8x+3=5，于是方程有两不等实数根．
由于函数y=f（x）=ax²+8x+3的图象关于直线x=-

4

a

对称，
故方程的一根大于-

4

a

，另一根小于-

4

a

，l（a）只能取方程ax²+8x+3=5的较小根，
于是l（a）=

-4+ 16+2a

a

=

2

16+2a +4

＜

2

4

=

1

2

．
②当3-

16

a

≤5，即a≤-8时，如右图（乙），
有l（a）＞-

4

a

，且f（l（a））=-5．
令ax²+8x+3=-5，于是方程有两不等实数根．
且方程的一根大于-

4

a

，另一根小于-

4

a

，l（a）必须取方程ax²+8x+3=-5的较大根，
于是l（a）=

-4- 16-8a

a

=

4

4-2a -2

≤

4

4-2(-8) -2

=

5 +1

2

，当且仅当a=-8时，取“=”．
因

5 +1

2

＞

1

2

，
故可取l（a）=

5 +1

2

为最大，此时a=-8．

点评：（1）对于二次函数与二次方程及二次不等式相结合的问题，常常画出示意图，利用图形的直观性进行问题的等价变形，直至问题的最终解决；（2）容易误认为第（1）种情形下方程的最小根为

-4- 16+2a

a

，第（2）种情形下方程的最大根为

-4+ 16-8a

a

．