Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，2Sn+2n＝an+1﹣2，a2＝8，其中n∈N*.

（1）记bn＝an+1，求证：{bn}是等比数列；

（2）设为数列{cn}的前n项和，若不等式k＞Tn对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）求得首项，运用数列的递推式，结合等比数列的定义，即可得证；

（2）运用等比数列的通项公式，可得c()n，由数列的错位相减法可得 ，结合不等式恒成立思想可得k的范围．

(1)证明： ，

n＝1时，，解得a1＝2，

n≥2时，可得，

两式相减可得，

即有 ，

可得 ，

即有{bn}是首项和公比为3的等比数列；

(2)cn，

＝12n，

n＝12n+1，

两式相减可得n﹣nn+1

n+1，

化简可得，

可得，

不等式kTn对任意的n∈N*恒成立，可得.