Question

（本小题16分）已知a>0，函数f（x）=ax－bx².

（I）当b>0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2；

（II）当b>1时，证明：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2；

（III）当0<b≤1时，讨论：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件.

  

Answer 1

解答：（1）证明：根据题设，对任意x∈R，都有f（x）≤1.又f（x）=－b（x－）²+.∴f（）=≤1，∵a>0，b>0，∴a≤2.…………………………………………………………………………4分

（2）证明：必要性：对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1f（x）≥－1.据此可推出

f（1）≥－1，即a－b≥－1，∴a≥b－1. ………………………………………………………6分

对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1f（x）≤1，因为b>1，可得0<<1，可推出f（）≤1，即a·－1≤1，∴a≤2，∴b－1≤a≤2.………………………………………………………8分

充分性：因为b>1，a≥b－1，对任意x∈［0，1］，可以推出ax－bx²≥b（x－x²）－x≥－x≥－1，即ax－bx²≥－1，因为b>1，a≤2，.………………………………………………………10分

对任意x∈［0，1］，可以推出：

ax－bx²≤2x－bx²－b（x－）²+1≤1，即ax－bx²≤1，∴－1≤f（x）≤1. ……………………12分

综上，当b>1时，对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.

（3）解：因为a>0，0<b≤1时，对任意x∈［0，1］有f（x）=ax－bx²≥－b≥－1，即f（x）≥－1；

f（x）≤1f（1）≤1a－b≤1，即a≤b+1，又a≤b+1f（x）≤（b+1）x－bx²≤1，即f（x）≤1.

所以，当a>0，0<b≤1时，对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是a≤b+1. …………………16分