Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的焦距为4 ，且椭圆C过点（2 ，1）． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与y轴负半轴的交点为B，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E、F，且B，E，F构成以EF为底边，B为顶点的等腰三角形，判断直线EF与圆x2+y2= 的位置关系．

Answer 1

【答案】解：（I）由题可知c=2 ，a2﹣b2=c2 ， 将点（2 ，1）代入椭圆方程可得 + =1，解得a=4，b=2，
则椭圆C方程是 + =1；
（II）设交点为E（x1 ， y1），F（x2 ， y2），EF的中点M的坐标为（xM ， yM），
由 ，得（1+4k2）x2+8kx﹣12=0，
由题可知△=64k2﹣4（1+4k2）（﹣12）＞0恒成立，
x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，
可得xM= =﹣ ，yM= =1+ = ，
因为△BEF是以EF为底边，B为顶点的等腰角形，所以EF⊥BM．
因此BM的斜率kBM=﹣ ，又点B的坐标为（0，﹣2），
所以kBM= =﹣ ，即﹣ =﹣ ，
解得k=± ，故EF的直线方程为± x﹣4y+4=0，
又因为圆x2+y2= 的圆心（0，0）到直线EF的距离d= = ＞ ，
所以直线EF与圆x2+y2= 相离
【解析】（I）由题可知c=2 ，又a2﹣b2=c2 ， 将点（2 ，1）代入椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（II）设交点为E（x1 ， y1），F（x2 ， y2），EF的中点M的坐标为（xM ， yM），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得直线EF的方程，再求圆心到直线的距离，与班级比较，即可得到所求位置关系．